Площадь и образующая усеченного конуса

Примеры из жизни

Вигвам

Допустим, вы хотите порадовать детей и собрать им вигвам — жилище индейцев, в котором можно весело проводить время. Для этого вам понадобится пара прутьев и много ткани, но сколько? Традиционный вигвам имеет вид конуса, поэтому вам достаточно прикинуть размеры вашего домика и рассчитать площадь боковой поверхности. Это и будет площадь ткани, необходимой для выполнения «стен» индейского жилища. Вы решили сделать маленький вигвам, высота которого составит 1,5 м, а его диаметр будет равен 2 м. Введите эти параметры в форму онлайн-калькулятора и получите результат в виде:

S = 3,14 + 5,66 = 8,80

Вы получаете ответ в виде суммы площадей основания и боковой поверхности. Для построения вигвама вам не понадобится основание, так как пол в «домике» можно не строить. Таким образом, для обустройства детского места вам потребуется 5,66 квадратных метров ткани.

Зенкеры

К примеру, вы работаете на токарном производстве и покрываете защитным составом конусы зенкеров — специальных деталей, которые используются для обработки металлических изделий. Для определения расхода защитного покрытия вам необходимо знать площадь поверхности конической детали. Пусть зенкер имеет радиус основания на уровне 5 мм, а образующая конической фигуры составляет 25 мм. В этом случае площадь обрабатываемой поверхности составляет:

S = 78,53 + 392, 69 = 471,23

Таким образом, площадь обрабатываемой поверхности равна площади боковой поверхности зенкера и составляет 392 квадратных миллиметров или 3,92 квадратных сантиметров. Зная этот параметр, вы без проблем сможете рассчитать расход защитного покрытия, которое используется для покрытия головок определенного количества зенкеров.

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конической фигуры определяется как сумма площади боковой поверхности и площади основания:

S = So + Sb

Основание конуса — это простой круг, поэтому формула для определения So предельно проста:

So = pi × R2

Площадь боковой поверхности конуса определяется как произведение длины образующей конуса l на радиус его основания r:

Sb = pi × l × r

Объединив обе формулы вместе и приведя их к удобному виду, мы получим выражение для определения площади общей поверхности конической фигуры:

S = pi × r × (r + l)

При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете подсчитать полную поверхность конической фигуры или только ее часть, зная всего два параметра:

• радиус и высоту конуса;
• радиус и образующую конуса.

Высота и образующая конусной фигуры связаны по формуле Пифагора, поэтому взаимозаменяемы при расчетах площади поверхности. Кроме того, вместо радиуса вы можете указать диаметр основания конуса. Выбирайте только одну пару параметров, иначе онлайн-калькулятор подгонит собственные значения других показателей для вычисления заданной площади. Рассмотрим примеры ситуаций, в которых может пригодиться использование данной формулы.

Геометрия конуса

По-гречески «konos» означает сосновую шишку, и эта фигура знакома людям с давних времен. Известно, что геометрию конусов изучали еще Архимед и Демокрит, которые при помощи решения задачи о пересекающихся цилиндрах вывели формулы для определения объемов пирамидальных и конических фигур.

Геометрически конус представляет собой тело, состоящее из круга, который лежит в основании, и точки, не принадлежащей плоскости круга. Данная точка является вершиной, из которой выходит бесконечное количество лучей, направленных в окружность основания. Эти лучи образуют боковую поверхность, а каждый луч называется образующей конической фигуры.

Другая интерпретация конуса представляет фигуру в виде тела вращения. Такое тело образуется путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В этом случае гипотенуза треугольника считается образующей конуса, противолежащий катет — высотой, а прилежащий — радиусом основания. Такой конус называется прямым, так как высота, опущенная из вершины, перпендикулярна площади основания.

Конус широко применяется в реальной жизни: его можно встретить в быту, производстве или науке. К примеру, форму конуса имеют рожки для мороженого, пожарные ведра, громкоговорители, абажуры для ламп, воронки, шатры, дорожные знаки. Конусообразные вещи широко распространены в природе: вулканы, горы, кроны хвойных деревьев или шляпки грибов имеют форму прямого конуса. Именно поэтому вам может понадобиться узнать площадь поверхности или объем конической фигуры не только при решении школьных задач, но и в реальной практике.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Усеченные конусы

      Рассмотрим с   S,     SO,     r   и   h.   Плоскость   β,   и расположенная на  S,   пересекает конус по кругу радиуса   r₁   с центром в точке   O₁   (рис. 2).

Рис.2

      Из   SOA   и   SO₁A₁   можно выразить радиус   r₁   через известные величины   r, h   и   h₁:

      Таким образом, плоскость   β   делит конус на две части: конус с осью   SO₁   и радиусом основания   r₁,   а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке   O   радиуса   r   на плоскости   α   и кругом с центром в точке   O₁ радиуса   r₁   на плоскости   β,   а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями   α   и   β.   Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями   α   и   β,   называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок   AA₁.

      Высотой усеченного конуса называют оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна   h – h₁.

Список источников

• www.resolventa.ru
• BBF.ru